在量子世界玩数独:被判为无解的数学谜题,物理学家找出了答案

科技 7个月前 社科兔
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在量子世界玩数独:被判为无解的数学谜题,物理学家找出了答案

  数学家欧拉提出过一个类似6×6数独的36军官问题:从6个军团各挑6种不同军衔的军官一共36人,将这36名军官排成一个方阵,能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同?后来数学家证明了,类似的5阶、7阶问题都有解,唯独在6阶无解。再后来,一群物理学家开了脑洞:如果每个军官都处在两个军团和两种军衔的叠加态中,这个问题还有解吗?他们真的找到了一个量子解……

  撰文|白德凡

  审校|二七

  数独游戏风靡全球,无论你是否爱玩,至少也听说过这种游戏的规则:一个9×9的网格被分为9个3×3的“宫”,将数字1~9填入这些格子中,要保证每行、每列和每宫都没有重复的数字。一般一个数独游戏会给出部分提示数,剩下的数字则需要玩家推理填补上。就是这样一个简单的规则,衍生出了非常多的解题技巧,引得无数玩家乐此不疲。

  数独的前身可以追溯到18世纪的欧洲,数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)总结了当时流行的一种填字游戏,称为“拉丁方阵”(Latin square)。游戏的规则即是在n阶的方形网格中填入n种拉丁字母(类似于2阶数独中,填入数字1~2,而3阶数独中填入1~3),使得每行、每列的字母都不会重复。这种方阵不限于9阶,也没有宫的限制,但保留了数独最基本的“每行每列不重复”的要求。

  不过让欧拉着迷的是拉丁方阵的一种更复杂的版本。欧拉考虑往每个格子中填入一个拉丁字母和一个希腊字母,使得每行、每列的字母都不会重复,并且每个格子中的希腊-拉丁字母对也不重复。这种方阵叫做“希腊-拉丁方阵”(Graeco-Latin square),其实质是将两个正交拉丁方阵(orthogonal Latin squares)并成一个方阵。这里的“正交”即是指,两个方阵对应格子组成的有序对不重复。如果你也想尝试,格子里的元素并不一定要是希腊和拉丁字母,你也可以用扑克牌的花色组合,甚至有序数对表示。

在量子世界玩数独:被判为无解的数学谜题,物理学家找出了答案

  无解的36军官问题

  欧拉在仔细考察了希腊-拉丁方阵后发现了一个有趣的现象:3,4,5,7阶的希腊-拉丁方阵都可以构造出来,但是无法构造出2阶和6阶的希腊-拉丁方阵。2阶的问题比较好处理,通过穷举法就能看出这样的希腊-拉丁方阵不存在,而6阶的问题相对复杂一些。欧拉用更通俗的语言复述了这个问题:从6个军团各挑6种不同军衔的军官一共36人,将这36名军官排成一个方阵,能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同?

在量子世界玩数独:被判为无解的数学谜题,物理学家找出了答案

  3,4,5,7阶军官问题的解。其中格子的颜色代表军团,格子中的符号代表军衔(图片来源:Wikipedia)

  欧拉认为这个“36军官问题”问题是无解的,即不存在6阶的希腊-拉丁方阵。并且他猜想,所有阶数为除以4余2的数的希腊-拉丁方阵都不存在,也就是说,2,6,10,14……阶的希腊-拉丁方阵都不存在。

  一个多世纪后的1901年,法国数学家加斯顿·塔里(Gaston Tarry)通过穷举法证实了,按规则构造出来的6阶方阵总会有格子里的元素是重复的,6阶希腊-拉丁方阵确实不存在。到了1959年,有数学家证明了欧拉进一步的猜想是不成立的,也就是说,除了2阶和6阶,其他阶数的希腊-拉丁方阵都是存在的。至此,这个关于原始版数独的问题在数学上有了答案。

  量子解法

  时间来到21世纪,一帮物理学家重新翻出了欧拉的36军官问题。尽管这个问题在数学上已经有了定论,但他们从物理学的角度开了个脑洞:假如这36军官处在一种量子叠加态中,每个军官“部分地”属于一个军团和一种军衔,又“部分地”属于另一个军团和另一种军衔,那这个问题还有解吗?

  沿着这个思路,有物理学家修改了一下希腊-拉丁方阵的构造规则,给出了一个量子版本的数独游戏。在量子力学中,物体的状态可以用向量来表示。在量子版36军官问题中,每个军官所属的军团可以表示为一个6维空间中的向量,所属的军衔又可以表示为另一个6维空间中的向量。由于军官可以处在各种叠加态中,这些向量可以各不相同,它们排列成的6×6方阵也就很容易满足“每行每列的向量各不相同”的要求,但这没有研究价值。物理学家感兴趣的是,每行、每列的向量是否构成了所属空间的一组标准正交基。

在量子世界玩数独:被判为无解的数学谜题,物理学家找出了答案

  要理解所谓“标准正交基”,可以做个类比。我们所熟悉的三维空间中,可以建立直角坐标系,沿坐标系中的x,y,z轴方向的单位向量便构成了一组标准正交基,这三个向量满足:方向上两两垂直,大小上都为单位长度。36军官问题可做类似理解,这意味着,6×6方阵中代表军官军团和军衔的向量要满足:每行、每列的向量两两垂直,并且大小为单位长度。

  事实上,代表军团的6维空间和代表军衔的6维空间可以扩充为一个36维空间,而每个军官的军团和军衔可以由这个36维空间中的一个向量表示。这些向量排列成的6×6方阵依然需要满足:每行、每列的向量两两垂直,并且大小为单位长度。

  在近期提交给《物理评论快报》的一篇预印本论文中,来自印度理工学院、波兰雅盖隆大学等机构的物理学家为这个量子版本的36军官问题找到了解。他们先是构造出了一个经典的6×6希腊-拉丁方阵的近似解(这意味着有部分格子里的元素是重复的),然后在计算机的帮助下,将这个近似解调整为量子版本的解。他们使用了一种算法实现这一点,这种算法有点像蛮力解魔方,先拼好第一行,然后拼第一列、第二列,以此类推,直到终于拼出完整的魔方。当他们一遍遍重复该算法后,得到了量子版36军官问题的解。

在量子世界玩数独:被判为无解的数学谜题,物理学家找出了答案

  这篇论文用扑克牌代替了军官:点数A,K,Q,J,10,9代替了军团;花色♠,♣,♦,♥,✿,✷代替了军衔。最终得到的量子解中,每个格子上的牌都处在两种点数和两种花色的叠加态中。值得注意的是,凡是格子中出现了点数A,与之叠加的点数一定是K;Q与J,10与9同理。而凡是格子中出现了花色♠,与之叠加的花色一定是♣;♦与♥,✿与✷同理。这说明,点数和花色各自两两发生了量子纠缠。也正是由于纠缠态的存在,整个方阵就不能像经典的希腊-拉丁方阵那样,按点数和花色分解成两个独立的拉丁方阵。这也是量子拉丁方阵的特别之处。

  研究人员说,这个古老数独问题的量子解,等价于一个4粒子系统的绝对最大纠缠态(Absolutely Maximally Entangled state)。这种纠缠态可以应用于量子计算中的纠错等许多场景,例如在量子计算机中以这种状态存储冗余信息,即使数据遭到损坏,信息也能保存下来。这个源自欧拉的古老数学问题,在243年后得到了一个物理学上的新解答。或许对于理论物理学家来说,这只是一次好玩的脑洞,却让量子通信和量子计算领域的研究者从中受益。科学的进步往往就发生在这样的游戏中。

  参考链接:

  https://www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/

  论文链接:

  https://arxiv.org/abs/2104.05122

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