在量子世界玩数独：被判为无解的数学谜题，物理学家找出了答案

　　数学家欧拉提出过一个类似6×6数独的36军官问题：从6个军团各挑6种不同军衔的军官一共36人，将这36名军官排成一个方阵，能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同？后来数学家证明了，类似的5阶、7阶问题都有解，唯独在6阶无解。再后来，一群物理学家开了脑洞：如果每个军官都处在两个军团和两种军衔的叠加态中，这个问题还有解吗？他们真的找到了一个量子解……

　　撰文|白德凡

　　审校|二七

　　数独游戏风靡全球，无论你是否爱玩，至少也听说过这种游戏的规则：一个9×9的网格被分为9个3×3的“宫”，将数字1~9填入这些格子中，要保证每行、每列和每宫都没有重复的数字。一般一个数独游戏会给出部分提示数，剩下的数字则需要玩家推理填补上。就是这样一个简单的规则，衍生出了非常多的解题技巧，引得无数玩家乐此不疲。

　　数独的前身可以追溯到18世纪的欧洲，数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）总结了当时流行的一种填字游戏，称为“拉丁方阵”（Latin square）。游戏的规则即是在n阶的方形网格中填入n种拉丁字母（类似于2阶数独中，填入数字1~2，而3阶数独中填入1~3），使得每行、每列的字母都不会重复。这种方阵不限于9阶，也没有宫的限制，但保留了数独最基本的“每行每列不重复”的要求。

　　不过让欧拉着迷的是拉丁方阵的一种更复杂的版本。欧拉考虑往每个格子中填入一个拉丁字母和一个希腊字母，使得每行、每列的字母都不会重复，并且每个格子中的希腊-拉丁字母对也不重复。这种方阵叫做“希腊-拉丁方阵”（Graeco-Latin square），其实质是将两个正交拉丁方阵（orthogonal Latin squares）并成一个方阵。这里的“正交”即是指，两个方阵对应格子组成的有序对不重复。如果你也想尝试，格子里的元素并不一定要是希腊和拉丁字母，你也可以用扑克牌的花色组合，甚至有序数对表示。

　　无解的36军官问题

　　欧拉在仔细考察了希腊-拉丁方阵后发现了一个有趣的现象：3，4，5，7阶的希腊-拉丁方阵都可以构造出来，但是无法构造出2阶和6阶的希腊-拉丁方阵。2阶的问题比较好处理，通过穷举法就能看出这样的希腊-拉丁方阵不存在，而6阶的问题相对复杂一些。欧拉用更通俗的语言复述了这个问题：从6个军团各挑6种不同军衔的军官一共36人，将这36名军官排成一个方阵，能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同？

　　3，4，5，7阶军官问题的解。其中格子的颜色代表军团，格子中的符号代表军衔（图片来源：Wikipedia）

　　欧拉认为这个“36军官问题”问题是无解的，即不存在6阶的希腊-拉丁方阵。并且他猜想，所有阶数为除以4余2的数的希腊-拉丁方阵都不存在，也就是说，2，6，10，14……阶的希腊-拉丁方阵都不存在。

　　一个多世纪后的1901年，法国数学家加斯顿·塔里（Gaston Tarry）通过穷举法证实了，按规则构造出来的6阶方阵总会有格子里的元素是重复的，6阶希腊-拉丁方阵确实不存在。到了1959年，有数学家证明了欧拉进一步的猜想是不成立的，也就是说，除了2阶和6阶，其他阶数的希腊-拉丁方阵都是存在的。至此，这个关于原始版数独的问题在数学上有了答案。

　　量子解法

　　时间来到21世纪，一帮物理学家重新翻出了欧拉的36军官问题。尽管这个问题在数学上已经有了定论，但他们从物理学的角度开了个脑洞：假如这36军官处在一种量子叠加态中，每个军官“部分地”属于一个军团和一种军衔，又“部分地”属于另一个军团和另一种军衔，那这个问题还有解吗？

　　沿着这个思路，有物理学家修改了一下希腊-拉丁方阵的构造规则，给出了一个量子版本的数独游戏。在量子力学中，物体的状态可以用向量来表示。在量子版36军官问题中，每个军官所属的军团可以表示为一个6维空间中的向量，所属的军衔又可以表示为另一个6维空间中的向量。由于军官可以处在各种叠加态中，这些向量可以各不相同，它们排列成的6×6方阵也就很容易满足“每行每列的向量各不相同”的要求，但这没有研究价值。物理学家感兴趣的是，每行、每列的向量是否构成了所属空间的一组标准正交基。

　　要理解所谓“标准正交基”，可以做个类比。我们所熟悉的三维空间中，可以建立直角坐标系，沿坐标系中的x，y，z轴方向的单位向量便构成了一组标准正交基，这三个向量满足：方向上两两垂直，大小上都为单位长度。36军官问题可做类似理解，这意味着，6×6方阵中代表军官军团和军衔的向量要满足：每行、每列的向量两两垂直，并且大小为单位长度。

　　事实上，代表军团的6维空间和代表军衔的6维空间可以扩充为一个36维空间，而每个军官的军团和军衔可以由这个36维空间中的一个向量表示。这些向量排列成的6×6方阵依然需要满足：每行、每列的向量两两垂直，并且大小为单位长度。

　　在近期提交给《物理评论快报》的一篇预印本论文中，来自印度理工学院、波兰雅盖隆大学等机构的物理学家为这个量子版本的36军官问题找到了解。他们先是构造出了一个经典的6×6希腊-拉丁方阵的近似解（这意味着有部分格子里的元素是重复的），然后在计算机的帮助下，将这个近似解调整为量子版本的解。他们使用了一种算法实现这一点，这种算法有点像蛮力解魔方，先拼好第一行，然后拼第一列、第二列，以此类推，直到终于拼出完整的魔方。当他们一遍遍重复该算法后，得到了量子版36军官问题的解。

　　这篇论文用扑克牌代替了军官：点数A，K，Q，J，10，9代替了军团；花色♠，♣，♦，♥，✿，✷代替了军衔。最终得到的量子解中，每个格子上的牌都处在两种点数和两种花色的叠加态中。值得注意的是，凡是格子中出现了点数A，与之叠加的点数一定是K；Q与J，10与9同理。而凡是格子中出现了花色♠，与之叠加的花色一定是♣；♦与♥，✿与✷同理。这说明，点数和花色各自两两发生了量子纠缠。也正是由于纠缠态的存在，整个方阵就不能像经典的希腊-拉丁方阵那样，按点数和花色分解成两个独立的拉丁方阵。这也是量子拉丁方阵的特别之处。

　　研究人员说，这个古老数独问题的量子解，等价于一个4粒子系统的绝对最大纠缠态（Absolutely Maximally Entangled state）。这种纠缠态可以应用于量子计算中的纠错等许多场景，例如在量子计算机中以这种状态存储冗余信息，即使数据遭到损坏，信息也能保存下来。这个源自欧拉的古老数学问题，在243年后得到了一个物理学上的新解答。或许对于理论物理学家来说，这只是一次好玩的脑洞，却让量子通信和量子计算领域的研究者从中受益。科学的进步往往就发生在这样的游戏中。

　　参考链接：

　　https：//www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/

　　论文链接：

　　https：//arxiv.org/abs/2104.05122